Если поменять название программы или часть кода, потребуется ли новая регистрация программы для ЭВМ?

Название программы не является объектом правовой охраны при регистрации программы для ЭВМ. Название нужно зарегистрировать как товарный знак и если вы его поменяете, нужно будет подать новую заявку на регистрацию товарного знака. 

А вот изменение части кода = появление новой версии программы. Однако по Гражданскому Кодексу каждая новая версия ПО — это формально новая программа, поэтому вам нужно будет подать новую заявку на регистрацию программы для ЭВМ.